Касание с окружностью и касание окружностей
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Нижняя из нарисованных окружностей касается параболы 
в вершине, наибольшая из таких и находится строго внутри неё. Каждая
следующая окружность касается предыдущей окружности и параболы симметрично.
(a) Докажите, что радиус 
-ной окружности 
(b) Докажите, что ординаты точек касания 
-ой окружности и параболы 
Подсказка 1
Первый пункт стоит доказывать по индукции. Предположите, что вы уже знаете радиусы n первых окружностей. Напишите уравнение (n+1)-ой. Учтите условия касания и сможете найти связь (n+1)-го радиуса с предыдущими.
Подсказка 2
Пользуясь предыдущим пунктом, напишите уравнение n-й окружности. Определитесь с координатами центра. Чтобы найти точки касания с параболой, нужно приравнять в уравнении окружности y к x².
(a) Пусть 
— радиус 
-й окружности, 
Тогда уравнение 
-й окружности имеет вид:
Условие касания означает то, что уравнение 
имеет один корень, тогда его дискриминат 
равен нулю, то есть
(так как 
Отсюда
покажем по индукции. База уже есть, переход:
(b) Найдём теперь ординату точки касания окружности с ветвями параболы. Поймём, где будет центр окружности по оси ординат.
Понятно, что мы должны посчитать диаметры всех 
окружностей и радиус 
-ой:
Тогда уравнение 
-ой окружности будет следующим
Теперь так как нам нужна ордината точки касания, то приравняем это уравнение и 
Раскрывая сразу скобки
получим:
Таким образом, получаем то, что требуется. Ордината точки касания 
-ой окружности будет 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
