Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка 
выбрана внутри него так, что описанные окружности
треугольников 
и 
имеют общую хорду, перпендикулярную 
Докажите, что радиусы данных окружностей
равны.
Источники:
Подсказка 1
Часто в геометрии полезно избавиться от ненужных объектов на картинке. В данном случае это общая хорда окружностей. Как можно переформулировать то что она перпендикулярна AD?
Подсказка 2
Это равносильно тому, что линия центров окружностей параллельна AD!
Подсказка 3
Теперь посмотрите на картинку повнимательнее: между двумя окружностями, которые должны быть равны, есть много общего...
Подсказка 4
Центры обеих окружностей лежат на линии центров, параллельной AD, а также центр первой лежит на...
Подсказка 5
Серединном перпендикуляре к AB! А центр второй - на серединном перпендикуляре к CD. Теперь просто нужно понять, что картинка (AB и центр первой окружности) равна картине (CD и центр второй окружности).
Первое решение.
Заметим, что линия центров 
перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым 
и 
Пусть 
- середина отрезка 
- середина отрезка 
Тогда 
и, поскольку 
прямые 
и
параллельны. Далее, 
и при этом 
поэтому 
Заключаем, что четырёхугольник 
—
параллелограмм по определению, следовательно 
Кроме того, поскольку отрезки 
и 
равны, то по двум катетам
будут равны прямоугольные треугольники 
и 
следовательно, равны их гипотенузы 
и 
являющиеся также
радиусами наших окружностей, что и требовалось доказать
Первое решение.
Предположим противное, радиусы окружностей 
и 
описанных около треугольников 
и 
соответственно,
различны.
При параллельном переносе на 
отрезок 
перейдет в отрезок 
окружность 
перейдёт в окружность
а прямая 
перейдёт в себя. Причём 
не может совпадать с 
поскольку их радиусы различны. Поэтому
линия центров 
совпадающая с прямой 
перпендикулярна общей хорде 
Таким образом, прямая 
параллельна общей хорде окружностей 
и 
и, следовательно, перпендикулярна прямой 
Но тогда параллелограмм
является прямоугольников, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей 
и 
равны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
