Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Будем называть треугольник 
вписанным в треугольник 
, если точки 
, 
, 
находятся на сторонах 
, 
, 
соответственно.
1. Докажите, что если отрезок 
параллелен отрезку 
, то описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются на
прямой 
.
2. Оказалось, что 
, 
. Докажите, что точка, симметричная 
относительно 
, лежит на пересечении описанных
окружностей треугольников 
и 
.
3. Пусть 
. Средняя линия треугольника 
, параллельная 
, пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что точка 
, 
, 
, 
лежат на одной окружности.
4. В треугольник 
вписан треугольник 
, гомотетичный треугольнику 
. Докажите, что описанная окружность
треугольника 
касается описанной окружности 
тогда и только тогда, когда касается описанной окружности
.
Пункт 1, подсказка 1
Пусть G — вторая точка пересечения описанных окружностей △AEF и △ABD. Тогда чтобы показать, что G, E и D лежат на одной прямой, можно, например, показать равенство ∠AGE и∠AGD. Ведь нам дан факт про параллельность, которая как раз связана с углами.
Пункт 2, подсказка 1
Показать, что точка лежит на пересечении двух окружностей можно, если показать принадлежность данной точки к обоим окружностям по отдельности.
Пункт 2, подсказка 2
Принадлежность к описанной окружности △ABD. Теперь стоит воспользоваться, что равнобедренные треугольники дают ещё достаточно равных отрезков, а также равные отрезки есть из симметричность. Тогда что можно сказать о окружности с центром в E и радиусом EB? Аналогично для точки F. Но как же воспользоваться этим фактом? Углы AED’ и AFD’ центральные, какие же равенства для них можно составить?
Пункт 3, подсказка 1
Что же даёт равенство углов в условии? Чем будут DF и DE для описанной окружности △AFE?
Пункт 3, подсказка 2
Конечно, XY — радикальная ось. Тогда можно посчитать степени точек для X и для Y. Из равенства для X, что можно сказать о 😆 и окружности, описанной около △AFD? 😆 — касается данной окружности, отсюда можно получить равенство для углов. Останется проделать аналогичные рассуждения для Y и проверить, чему равна сумма противолежащих углов XAYD.
Пункт 4, подсказка 1
Окружность описанная около △DEF повторно пересекает стороны BC, AC, AB в точках D', E', F' соответственно. Окружность △XYZ повторно пересекает стороны EF, DF, DE в точках X', Y', Z' соответственно. Что можно сказать о пересечение описанных окружностей △EX'Z', △FX'Y' и △DY'Z'. Они пересекаются в одной точки, пусть М. Выясните, каким ещё окружностям принадлежит точка М?
Пункт 4, подсказка 2
Очень много окружностей пересекающихся в М. Давайте сделаем инверсию φ в этой точке с произвольным радиусом. Какие подобные треугольнике теперь можно увидеть? Например, △AE'F' ~ △φ(X') φ(E) φ(F). Какие ещё два аналогичных подобия можно получить?
1. Пусть 
— вторая точка пересечения описанных окружностей 
и 
. Поскольку четырехугольник 
описанный, то
. Четырехугольник 
также описанный, значит 
.
Поскольку 
, то 
.
Получаем, что 
. Тогда 
, 
, 
лежат на одной прямой.
2. Поскольку треугольники 
и 
равнобедренные, то 
и 
. Тогда
Также из определения 
(точка, симметричная 
относительно 
) следует, что
Получается, что 
лежит на описанной окружности 
.
Из определения 
как симметричной точки:
Значит, 
и 
лежат на одной окружности с центром в 
а 
и 
с центром в 
Тогда выполнены следующие равенства
для вписанных и центральных углов:
Получаем, что 
лежит и на описанной окружности 
.
3. Обозначим за 
и 
середины 
и 
соответственно. Т.к. 
, то 
и 
— касательные к
окружности, описанной около 
.
.jpg)
Рассмотрим пару окружностей: описанная окружность треугольника 
и окружность нулевого радиуса с центром в точке 
.
Рассмотрим степени точек 
и 
относительно данных окружностей:
Получаем, что 
— радикальная ось наших 2 окружностей. Тогда на этой же радикальной оси лежат 
и 
. Тогда
и 
Следовательно, 
— касательная к описанной окружности 
, и 
— касательная к
описанной окружности 
. Тогда
— вписанный.
4. Окружность 
повторно пересекает стороны 
, 
, 
в точках 
, 
, 
соответственно. Окружность 
повторно пересекает стороны 
, 
, 
в точках 
, 
, 
соответственно.
Окружности 
и 
повторно пересекаются в точке 
. Заметим, что
поэтому 
лежит на окружности 
. Также
поэтому 
лежит на окружности 
. Аналогично 
лежит на окружностях 
, 
.
Пусть 
— инверсия с центром в точке 
и произвольным радиусом. Тогда
Также
Аналогично 
. Следовательно, треугольники 
и 
подобны. Проделывая аналогичные
рассуждения для двух других сторон мы получаем
Следовательно, угол между окружностями 
и 
равен углу между окружностями 
и 
по подобию, с другой стороны, равен углу между окружностями 
и 
, поскольку инверсия сохраняет
углы.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
