Степень точки и радикальные оси
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром в точке 
проходит через вершины 
и 
треугольника 
и вторично пересекает стороны 
и 
в
точках 
и 
соответственно. Предположим, что окружности с диаметрами 
и 
касаются друг друга внешним образом в точке
. Найдите длину отрезка 
, если 
и 
Источники:
Подсказка 1
Пока точка A не очень связана со всей остальной картинкой. Попробуйте выражать степень точки A относительно всех трёх окружностей.
Подсказка 2
Отлично! Мы получили, что степень точки A относительно окружности с диаметрами BP равна степени точки A относительно окружности с диаметрами CQ. А также мы знаем, что T - точка касания этих же окружностей. Что тогда можно сказать про прямую AT?
Подсказка 3
Верно! Это же радикальная ось этих окружностей, а значит, и касательная. Теперь с помощью теоремы об отрезках секущей и касательной мы можем найти отрезки AP и AQ. Однако мы ещё никак не использовали свойства точки O. Попробуйте отметить центры двух других окружностей (точки Y и X) и рассмотреть четырёхугольник AXOY.
Подсказка 4
Мы получаем, что он вписанный. А значит, углы AYX и AOX равны. Теперь мы можем выразить AO через AX и угол AYX. Осталось лишь найти этот угол. В треугольнике AYX мы уже знаем 2 стороны, и если найдём третью, то и любой его элемент сможем посчитать, а значит и угол AYX. Попробуйте найти XY, воспользовавшись тем, что T — точка касания.
Заметим, что 
(степень точки 
относительно окружности 
). Но также величина 
является степенью
точки 
относительно окружности с диаметром 
, а величина 
— степенью точки 
относительно окружности с диаметром
. И эти величины равны, а значит точка 
лежит на радикальной оси этих окружностей. Также на ней лежит точка 
, потому что
это их общая точка. Но у касающихся окружностей радикальной осью является их общая касательная. Стало быть, 
— их общая
касательная.
Отметим точки 
и 
— середины отрезков 
и 
.
Из равенств 
и 
находим 
. В силу касания
, то есть точки 
коллинеарны. Следовательно, 
.
Заметим, что 
и 
, потому что 
— центр окружности 
. Таким образом, четырёхугольник 
вписанный, а отрезок 
— диаметр опиcанной окружности треугольника 
. С одной стороны, по формуле Герона площадь
треугольника равна 
. С другой стороны, она равна 
, откуда вычисляем 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
