Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея

Подсказка 1

Пусть ABC — исходный треугольник, M_a, M_b, M_c — середины стороны BC, AC, AB соответственно, ω — вписанная окружность, F — точка Фейербаха.. Как мы можем воспользоваться касанием ω и (M_aM_bM_c), чтобы получить условие на отрезки вида M_aF?

Подсказка 2

Можем воспользоваться теоремой Кэзи для окружностей M_c, F, ω, M_b. Какое условие на отрезки M_cF и M_bF мы получим?

Подсказка 3

K_a, K_b, K_c — точки касания ω с соответствующими сторонами. Мы имеем, что FM_c/FM_b = M_cK_c/M_bK_b и аналогичные. Как это позволяет переписать исходное условие в терминах отрезков вида M_cK_c?

Подсказка 4

Вместо того, чтобы доказывать (FM_c + FM_b) / FM_a = 1, будем доказывать, что (M_cK_c + M_bK_b) / M_aK_a = 1. Как данные отрезки выражаются через стороны треугольника?

Подсказка 5

Без ограничений общности будем считать, что AB ≥BC ≥ CA. Тогда M_cK_c = (BC - CA) / 2; M_bK_b = (AB − BC) / 2; MaKa = (AB - AC) / 2. Завершите доказательство.