Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около выпуклого четырехугольника 
, диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с
центром в точке 
. Найдите площадь четырехугольника 
.
Подсказка 1
Обозначим дуги AB и BC за b и a соответственно. Что мы можем тогда сказать про дуги CD и AD, если мы знаем, что AC и BD перпендикулярны?
Подсказка 2
AB+СD=2*90° и BC+AD=2*90°. Тогда AOB=b, BOC=a, COD=180°-b и AOD=180°-a. Как тогда между собой относятся площади треугольников AOB и COD, если вспомнить, что sin(x)=sin(180°-x)...
Подсказка 3
Они равны, ведь S(AOB)=R*R*sin(b)/2 и S(COD)=R*R*sin(180°-b)/2=R*R*sin(b)/2. Аналогично, равны площади треугольников BOC и AOD. Что мы можем сказать про отношение площадей четырехугольника ABCO и ABCD?
Подсказка 4
S(ABCO) = S(AOB)+S(BOC) и S(ABCD) = S(AOB)+S(BOC)+S(COD)+S(AOD)=2(S(AOB)+S(BOC))=2S(ABCO). Осталось только вспомнить формулу для площади четырехугольника через диагонали и угол между ними и завершить решение.
.png)
Пусть хорды 
и 
стягивают дуги с центральными углами 
и 
соответственно. Тогда в силу перпендикулярности диагоналей,
хорды 
и 
стягивают дуги с центральными углами 
и 
. То есть имеем
Сумма площадей треугольников 
и 
равна:
где 
- радиус описанной окружности.
Сумма площадей треугольников 
и 
равна:
Таким образом, площадь четырехугольника 
равна половине площади четырехугольника 
, равной
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
