Треугольник с углом 60 градусов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном неравнобедренном треугольнике 
проведены высоты 
и 
и отмечены точки 
и 
— середины
сторон 
и 
соответственно. Докажите, что если 
то 
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала подумаем, что нам дает равенство уголочков ∠ABC и ∠A₁MC₁. Мы знаем, что сумма уголков ∠C₁MA+∠C₁MA₁+∠A₁MC=180°. Как нам выразить ∠C₁MA и ∠A₁MC через углы треугольника ∠ABC?
Подсказка 2
Т.к. △AMC₁ и △CMA₁- равнобедренные, то ∠AMC₁=180°-2∠BAC, ∠CMA₁=180°-2∠BCA ⇒ ∠ABC=2(180°-∠ABC)-180° ⇒ ∠ABC=60°. Тогда очень интересным выглядит треугольник △BC₁C. Что можно сказать про сторону BC₁?
Подсказка 3
Верно, она равна BC/2. Но мы знаем, что BL=BC/2 ⇒ BC₁=BL. Из аналогичных рассуждений можно получить, что BK=BA₁. Как тогда завершить решение?
Подсказка 4
Посмотрите на равенство BC₁-BK=BL-BA₁!
Давайте сначала узнаем, для чего же нам дали равенство углов. Пусть 
Тогда можем выразить угол
через два других угла треугольника. Понятно, что 
Тогда
Но мы знаем, что 
Тогда
Отлично! Значит, на самом деле нам дали треугольник с углом 
Но тогда 
так как 
— это средняя линия
треугольника, а 
подобен исходному с коэффициентом 
откуда и получаем равенство. Теперь видим, что если докажем
равенство треугольников 
и 
то мы победим! Одна пара сторон у них равные, а 
общая сторона. Давайте найдём угол
между ними. Будем использовать знания о том, что 
вписанный, 
параллельно 
и из прямоугольного треугольника
Тогда
Значит, треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда и 
Победа!
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
