Тема Треугольники с фиксированными углами

Треугольник с углом 120 градусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники с фиксированными углами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#89906

Один из углов треугольника равен $120∘$ . Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, — прямоугольный.

Показать ответ и решение

Биссектриса — это ГМТ точек, равноудалённых от сторон угла. Заметим, что $X$ лежит на биссектрисе $AX$ . Опустим перпендикуляры $XN$ и $XM$ на $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда, так как $X$ лежит на биссектрисе $∠BAC,XN = XM$ .

Так как $∘ ∠ABY = ∠CBY =60$ , а $∘ ∘ ∠NBC =180 − ∠ABC = 60 ,$ $BX$ — биссектриса $∠Y BN.$ Тогда опустим перпендикуляр $XP$ на $BY.$

$PIC$

Так как $BX$ — биссектриса угла $∠Y BN,XP = XN,$ а $XN = XM$ (доказано выше). Значит, $XP =XM.$ Получается, $YX$ — биссектрисса $∠BY C$ . Аналогично доказываем, что $YZ$ — биссектрисса $∠BY A.$ Тогда:

∠ZYX = ∠ZY B+ ∠BY X = 1 ∠AYC = 1180∘ =90∘. 2 2

Значит, в $△ZY X$ угол $∠ZYX = 90∘$ . $△ZY X$ — прямоугольный.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31837

На диагонали $AC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $E$ . Известно, что $∠BAC =∠BCA =∠DAC = 30∘,AC ⊥DE$ u $AE = 2CE$ . Докажите, что $AD +AE > 2BD$ .

Показать доказательство

$PIC$

Отметим на отрезке $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $∠ABX = ∠CBY = 30∘$ , чтобы получить $AX = XB$ и $CY = YB$ . Причём как внешние углы $∠BXY = 60∘$ и $∠BY X =60∘$ . Следовательно, треугольник $XBY$ правильный, а тогда $AX = XY = YC = BX = BY$ . Так как $AE = 2CE$ , то получаем, что точка $Y$ совпадает с $E$ , поэтому $AE = 2EB$ . Кроме того, $AD = 2DE$ , как гипотенуза и меньший катет прямоугольного треугольника с углом $30∘$ . Итак, $AD +AE = 2(DE +EB )> 2BD$ по неравенству треугольника, что и требовалось.