Центральная симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
Точка 
симметрична вершине 
относительно прямой 
а точка 
симметрична 
относительно 
Касательная к описанной окружности треугольника 
проведенная в точке 
пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Попробуем добавить больше симметрий! Что если отразить точки B и C относительно A? Пусть это будут точки C’ и B’. Также для законченности картинки добавим точку D — пересечение YC’ и XB’. Что можно сказать про прямую AB?
Подсказка 2
AB проходит через середины CC’ и CY! Что это означает? Можно ли провернуть то же самое со стороны точки X?
Подсказка 3
Верно, AB C’Y и AC XB’ ! А как воспользоваться симметрией из условия? Например, что Y симметрична C относительно AB? Кем тогда является AB для угла YAC?
Подсказка 4
Верно, биссектрисой! Тогда попробуем воспользоваться тем, что угол YAC в два раза больше BAC?
Подсказка 5
Углы C’AY и B’AX равны! Что можно вывести из такого подсчета углов?
Подсказка 6
Треугольники AC’Y и AB’X подобны! Что можно вывести из этого? А как воспользоваться касательной?
Подсказка 7
YC’/XB’ = AY/AX. А из свойств касательной следует, что EAX и AYX равны! Итак, у нас достаточно много равных углов, что можно из этого вывести?
Подсказка 8
Треугольники EAX и EYA также подобны! Что полезного можно вывести из подобия? Нам хотелось бы использовать найденное ранее равенство отношений.
Подсказка 9
EX/EY = EX*AE/(AE*EY) = (AX/AY)^2.
Пусть 
— отражения 
относительно 
соответственно, 
— пересечение 
и 
.
Из определения точки 
и того факта, что 
и 
симметричны относительно 
, получаем, что прямая 
проходит через
середины отрезков 
и 
. Т.е. 
— прямая, содержащая среднюю линию 
. Аналогично, 
. Из
этих двух параллельностей следует, что 
.
В силу симметрий из условия
Вместе с предыдущим фактом получаем, что 
. Отсюда получим, что 
.
Также вспомним, что 
, откуда следует, что
Теперь докажем, что 
, 
и 
лежат на одной прямой по теореме, обратной к теореме Менелая:
В силу симметрии относительно 
получаем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
