Центральная симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Источники:
Обозначим вершины произвольного вписанного в окружность четырёхугольника за 
и 
центр окружности за 
середины
сторон 
и 
за 
и 
соответственно.
Отрезки 
и 
являются серединными перпендикулярами к сторонам 
и 
поэтому они параллельны перпендикулярам
и 
опущенным на эти стороны из середин противоположных сторон четырёхугольника. Обозначим точку пересечения
этих перпендикуляров за 
из параллельности отрезков 
и 
а также 
и 
следует, что четырёхугольник
является параллелограммом. Следовательно, его диагонали 
и 
пересекаются в точке 
делящей их
пополам. Диагональ 
при этом является средней линией четырёхугольника 
поэтому точка 
пересечения
перпендикуляров 
и 
опущенных из середин сторон 
и 
на противоположные стороны четырёхугольника,
симметрична центру 
описанной окружности относительно середины 
отрезка 
соединяющего середины сторон 
и
Аналогично доказывается, что точка 
пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон 
и 
на противоположные
стороны четырёхугольника, симметрична центру О описанной окружности относительно середины отрезка 
соединяющего середины
сторон 
и 
Четырёхугольник 
образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника 
образуют параллелограмм (Вариньона), стороны которого параллельны диагоналям 
и 
и равны их половинам.
Следовательно, отрезки 
и 
являющиеся диагоналями параллелограмма 
делятся точкой их пересечения
пополам, поэтому их середины совпадают. Значит, совпадают и точки 
и 
симметричные центру 
относительно этих
середин.
Таким образом, все четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон вписанного четырёхугольника 
пересекаются в точке
, симметричной центру 
описанной окружности относительно точки пересечения средних линий 
и 
этого
четырёхугольника.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
