Осевая симметрия
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
треугольника 
отмечены точки 
и 
соответственно. Известно, что 
и 
где 
—
точка пересечения отрезков 
и 
Докажите, что треугольник 
— равнобедренный.
Подсказка 1
Давайте пойдëм от противного, пусть AB > BC. Если бы они были равны, треугольник был бы равнобедренным. Попробуйте сделать какое-нибудь преобразование, которое перевело бы равнобедренный треугольник в себя. На реальном чертеже картинка получится некрасивая, в ней и нужно найти противоречие.
Подсказка 2
Тут нельзя придумать ничего проще симметрии относительно биссектрисы угла B. Посмотрите, куда перейдëт точка A. Поработайте с равнобедренным треугольником, который получился после симметрии.
Допустим, что 
Пусть для определенности 
Отложим на луче 
отрезок 
В силу симметрии
относительно биссектрисы угла 
отрезки 
и 
пересекаются в точке 
на этой биссектрисе. При этом точка 
лежит на
отрезке 
так как отрезки 
и 
лежат с разных сторон от прямой 
Пусть 
и 
— середины отрезков 
и 
соответственно, а 
— точка пересечения 
и 
По теореме Фалеса середина 
отрезка 
лежит на средней линии 
треугольника 
и, следовательно, на отрезке 
Заметим, что отрезки 
и 
а, значит, и точка 
и отрезок 
лежат по
разные стороны от прямой 
.
Так как 
точка 
лежит на отрезке 
Поскольку угол 
— прямой, угол 
— острый. Значит, серединный
перпендикуляр отрезка 
пересекается с лучом 
в точке 
вне отрезка 
По условию точка 
лежит на этом серединном
перпендикуляре, причём с той же стороны от прямой 
что и точка 
Стало быть, точка 
лежит на луче 
Но этот луч вместе с
точкой 
лежит по разные стороны от прямой 
с отрезком 
что противоречит доказанному в первом абзаце.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
