Осевая симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Будем называть треугольник 
вписанным в треугольник 
, если точки 
, 
, 
находятся на сторонах 
, 
, 
соответственно.
1. Докажите, что если отрезок 
параллелен отрезку 
, то описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются на
прямой 
.
2. Оказалось, что 
, 
. Докажите, что точка, симметричная 
относительно 
, лежит на пересечении описанных
окружностей треугольников 
и 
.
Пункт 1, подсказка 1
Пусть G — вторая точка пересечения описанных окружностей △AEF и △ABD. Тогда чтобы показать, что G, E и D лежат на одной прямой, можно, например, показать равенство ∠AGE и∠AGD. Ведь нам дан факт про параллельность, которая как раз связана с углами.
Пункт 2, подсказка 1
Показать, что точка лежит на пересечении двух окружностей можно, если показать принадлежность данной точки к обоим окружностям по отдельности.
Пункт 2, подсказка 2
Принадлежность к описанной окружности △ABD. Теперь стоит воспользоваться, что равнобедренные треугольники дают ещё достаточно равных отрезков, а также равные отрезки есть из симметричность. Тогда что можно сказать о окружности с центром в E и радиусом EB? Аналогично для точки F. Но как же воспользоваться этим фактом? Углы AED’ и AFD’ центральные, какие же равенства для них можно составить?
1. Пусть 
— вторая точка пересечения описанных окружностей 
и 
. Поскольку четырехугольник 
описанный, то
. Четырехугольник 
также описанный, значит 
.
Поскольку 
, то 
.
Получаем, что 
. Тогда 
, 
, 
лежат на одной прямой.
2. Поскольку треугольники 
и 
равнобедренные, то 
и 
. Тогда
Также из определения 
(точка, симметричная 
относительно 
) следует, что
Получается, что 
лежит на описанной окружности 
.
Из определения 
как симметричной точки:
Значит, 
и 
лежат на одной окружности с центром в 
а 
и 
с центром в 
Тогда выполнены следующие равенства
для вписанных и центральных углов:
Получаем, что 
лежит и на описанной окружности 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
