Осевая симметрия

Пусть — ортоцентр треугольника Поскольку

треугольники и симметричны относительно прямой Значит, и окружности и симметричны относительно прямой На окружности лежит точка (так как тогда точка симметричная точке относительно прямой лежит на окружности

Из симметрии а кроме того, (например, из вписанных четырёхугольников и вписанных в окружности с диаметрами и Отсюда значит, лежит на прямой Таким образом, совпадает с

Из симметрии точек и относительно вытекает, что и . Аналогично доказывается, что

Для завершения решения достаточно установить равенство Из параллельности прямых: Но из вписанного четырёхугольника

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Также решение можно закончить и по-другому. Заметим, что прямые и являются серединными перпендикулярами к отрезкам и соответственно, поэтому точка является центром описанной окружности треугольника откуда и следует искомое касание, в силу того, что высота на