Осевая симметрия
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике 
выполнено 
В треугольники 
вписаны окружности с центрами
Докажите, что прямые 
пересекаются в одной точке.
Подсказка 1.
Для начала давайте сконцентрируемся на условии AB + AD = CB + CD. Что из него можно получить? Хотелось бы, конечно, чтоб это можно было потом подвязать к вписанным окружностям.
Подсказка 2.
Правильно! Из этого условия следует, что существует вневписанная окружность, которая касается лучей BA, BC, AD, CD. Давайте обозначим эту окружность за Ω. Теперь вернёмся к тому, что нужно доказать. Хотим показать, что точка пересечения диагоналей лежит на линии центров. Попробуйте это переформулировать.
Подсказка 3.
Для этого обратите внимание, что точка пересечения диагоналей лежит на одной из внутренних касательных к вписанным окружностям из условия.
Подсказка 4.
На самом деле достаточно доказать, что точка пересечения диагоналей совпадает с центром отрицательной гомотетии, которая переводит одну вписанную окружность из условия в другую. Какая теорема может помочь это доказать?
Подсказка 5.
Правильно! Теорема о 3 колпаках! Как раз можно вспомнить про окружность Ω.
По теореме Штейнера четырехугольник 
является внеописанным, то есть существует окружность 
которая касается
продолжений всех его сторон, причем вписана во внутренние углы 
и 
Осталось заметить, что по теореме о трех колпаках для
вписанных окружностей треугольников 
и окружности 
центр отрицательной гомотетии первых двух лежит на диагонали
а значит, через эту точку проходит прямая 
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
