Осевая симметрия

Докажем для начала следующую лемму: пусть для выпуклого четырехугольника выполняется равенство тогда существует окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, вписанная в угол или угол

Пусть угол меньше угла тогда картинка будет в точности как на рисунке выше! Докажем, что биссектрисы углов и внешнего угла к пересекаются в одной точке, из этого будет следовать, что существует требуемая окружность из определения биссектрисы как ГМТ.

Пусть биссектрисы углов и пересекаются в Отразим относительно биссектрисы получим точку на прямой Аналогично, отражая относительно получим на По условию распишем как и получим Так как мы получили точку симметрией, то Значит, так как равно из симметрии.

Тогда посмотрим на треугольник в нем — серединные перпендикуляры к сторонам соответственно. Однако биссектриса угла тоже будет серединным перпендикуляром, но к стороне так как Значит, и биссектриса угла есть серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и, следовательно, пересекаются в одной точке (центре описанной окружности треугольника ), что и требовалось.

Лемма доказана, решим с ее помощью задачу. Пусть вторая внешняя касательная к вписанным окружностям касается в точках и и пересекает в Вневпишем в окружность как в лемме. Тогда по задаче точки и лежат на одной прямой. Но точка еще лежит и на и на Значит, есть точка пересечения диагоналей и лежит на что и требовалось в задаче.