Тема . Преобразования плоскости

Осевая симметрия

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела преобразования плоскости
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81908

Треугольник ABC  (AC > BC )  вписан в окружность ω.  Биссектриса CN  этого треугольника пересекает ω  в точке M  (M ⁄= C).  На отрезке BN  отмечена произвольная точка T.  Пусть H  — ортоцентр треугольника MNT.  Описанная окружность треугольника MNH  пересекает ω  в точке R  (R ⁄=M ).  Докажите, что ∠ACT = ∠BCR.

Показать доказательство

PIC

Пусть T′ — точка, симметричная точке T  относительно биссектрисы CN.  Тогда (MT ′,T ′N )=(NT,TM )= (MH,HN ),  откуда следует, что точки M,N, H,T′,R  лежат на одной окружности. Заметим, что ∠ACT  =∠BCT ′.  Значит осталось доказать, что точки C,T′ и  R  лежат на одной прямой. Заметим, что ∠CRM  = ∠CAM.  Также видно, что ∠ACM = ∠MCB  = ∠MAB.  Треугольники CAM  и ANM  подобны по первому признаку. Отсюда следует равенство ∠CAM = ∠ANM.  Также отметим, что ∠T ′RM = ∠T′NM  =∠MNT.  Из всего этого можно заключить, что 180∘ = ∠MNT + ∠ANM = ∠T′RM  +∠CRM.  Следовательно, точки C,T ′ и R  лежат на одной прямой.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!