Поворот

Пусть точки выбраны так, что треугольники — равносторонние.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Треугольник — равносторонний.

Доказательство. Заметим, что и Будем считать, что картинка такая же как и ниже. Сделаем следующую последовательность поворотов (все по часовой стрелки): с центром в точке на с центром в точке на такой, что точка переходит в опять с центром в точке на и с центром в точке на Заметим, что сумма углов этих поворотов равна и при этом переводит точку в себя, а значит, данная композиция поворотов является тождественным преобразованием. Откуда следует, что поворот с центром в точке на совпадает с поворотом с центром в точке на угол Откуда следует, что и треугольник равносторонний, что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к решению задачи. Заметим, что точки и симметричны точкам и относительно вершины соответственно. Откуда следует, что прямые и параллельны. А значит, серединный перпендикуляр к проходит (из леммы) через точку и перпендикулярен прямой то есть является высотой треугольника Два других серединных перпендикуляра из аналогичных рассуждений будут высотами этого треугольника, которые точно пересекаются в одной точке.