Поворот

Первое решение.

Вспомним, что угол, под которым видна сторона треугольника из центра вневписанной окружности, равен где — угол, в который окружность вневписана.

Центр вневписанной окружности треугольника лежит на прямой т.к. биссектриса совпадает с диагональю квадрата Но при этом

то есть точка как раз является центром вневписанной окружности треугольника

Тогда точки и — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон треугольника а его периметр равен

Второе решение.

Если отразить точку относительно прямой а затем относительно прямой то она перейдет в точку Действительно композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. То есть в нашем случае эти две симметрии эквивалентны повороту на угол относительно точки Это означает, что образ точки при симметрии относительно и образ точки при симметрии относительно — это одна и та же точка; на рисунке она обозначена

Из точки отрезки и видны под углом (при симметрии сохраняются величины углов, поэтому например, углы и равны). Значит, точка — это основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую И, наконец, поскольку и (при симметрии длины отрезков сохраняются), видим, что периметр треугольника равен сумме длин сторон и квадрата.