Тема . Преобразования плоскости

Поворот

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела преобразования плоскости
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80310

Точки M  и N  на сторонах BC  и CD  квадрата ABCD  соответственно таковы, что ∠MAN  = 45∘.  Докажите, что BM  +DN  =MN.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем поворот в точке A на 90°. Пусть точка N перешла в точку X. Что можно сказать о точке X?

Подсказка 2

Верно! X лежит на прямой CB и BX = DN. Кроме того, MX = BM + DN. Какое равенство нужно доказать?

Подсказка 3

Верно! MX = MN. Можно ли для этого доказать равенство треугольников MAX и MAN?

Подсказка 4

По свойству поворота ∠NAD = ∠XAB. Как тогда доказать равенство ∠XAM = ∠MAD?

Показать доказательство

PIC

Сделаем поворот в точке A  на 90∘ против часовой стрелки. Точка D  перейдёт в точку B,  а точка N  — в точку X  на прямой BC  такую, что BX = DN.  То есть MX = BM  +DN,  а значит достаточно доказать равенство MX = MN.  Заметим, что ∠XAB  =∠NAD  по свойству поворота. Отсюда имеем ∠XAM  = ∠XAB + ∠BAM  =∠NAD  + ∠BAM = 90∘− 45∘ = 45∘ = ∠MAN.  Также по свойству поворота XA = AN.  Отметим, что MA  — общая сторона у ΔXAM  и ΔMAN.  Из вышеописанных рассуждений следует, что ΔMAX  = ΔMAN  по первому признаку. А отсюда уже вытекает равенство XM  = MN,  что и требовалось.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!