Гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две окружности 
и 
, пересекающиеся в (несовпадающих) точках 
. К этим окружностям проведены общие внешние
касательные, пересекающиеся в точке 
. Прямая 
повторно пересекает 
в точке 
, а прямая 
повторно пересекает 
в
точке 
. Касательная к 
в точке 
и касательная к 
в точке 
пересекаются в точке 
. Докажите, что точки 
лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Если обозначить центр Г₁ за O₁, а центр Г₂ за O₂, то чертёж выглядит достаточно симметричным относительно O₁O₂. Но вот T₁ и Т₂ несимметричны. Давайте считать, что радиус Г₂ меньше Г₁. Тогда вторая точка пересечения XT₁ и окружности Г₂, пусть S, лежит на отрезке XT₁.
Подсказка 2
Через равенство углов ∠ XT₁Y и∠ XT₂Y!
Подсказка 3
∠ XT₂Y равен углу между XT₁ и касательной к окружности Г₂ в S(пусть β). Значит, теперь мы хотим показать, что β и ∠ XT₁Y равны. Как бы это сделать?
Подсказка 4
С помощью гомотетии в X! Но с каким коэффициентом?
Подсказка 5
С таким коэффициентом, чтобы при гомотетии S перешла в А.
Назовём центры окружностей 
соответственно 
и 
Вторую точку пересечения 
с 
назовём 
. Без ограничения
общности скажем, что радиус 
меньше радиуса 
(случай равенства радиусов невозможен, ведь тогда касательные не имели бы точки
пересечения). Тогда 
лежит на отрезке 
.
Докажем, что прямая 
составляет равные углы с касательной к 
в точке 
и с касательной к 
в точке 
. Гомотетия с
центром 
и коэффициентом 
переводит 
в 
, при этом точки пересечения прямой 
с окружностью 
переходят в
точки пересечения 
с 
в порядке их следования на луче 
Значит, точка 
перейдет в точку 
, а точка 
– в точку
При гомотетии касательная к 
в точке 
переходит в касательную к 
в точке 
Согласно теореме о б угле между касательной
и хордой, касательные к 
в точках 
и 
составляют равные углы с хордой 
из чего следует, что прямая 
составляет
равные углы с касательной к 
в точке 
и с касательной к 
в 
Утверждение доказано. (Отметим, что если касательные из
доказанного утверждения параллельны, то прямая 
содержит 
и 
а значит точки 
и 
совпадают, что противоречит
условию.)
Осталось доказать 
Для этого рассмотрим прямую 
являющуюся осью симметрии окружностей 
и 
относительно неё симметричны прямые 
и 
касательные к 
в 
и 
Значит, 
равен углу между 
и
касательной к 
в 
этот угол равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
