Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два одинаково ориентированных квадрата 
и 
Серединные перпендикуляры к отрезкам 
пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам 
в точках 
соответственно.
Докажите, что 
Подсказка 1
Между двумя одинаково ориентированными квадратами существует красивое преобразование — поворотная гомотетия. А если сделать только половину от этого, что тогда можно сказать о точках Cᵢ — серединах отрезков AᵢBᵢ.
Подсказка 2
Середины отрезков AᵢBᵢ образуют квадрат. Часто при изучении поворотной гомотетии полезно проследить, сохраняются ли какие-то угловые соотношения, а если сохраняются углы, то может стоит поискать вписанные четырехугольники?
Подсказка 3
Двигаются четыре точки, даны 4 аналогичные точки P, Q, R, S, тогда может и окружностей тоже четверо, и они все проходят через O — центр поворотной гомотетии?
Подсказка 4
Как же я люблю окружности проходящие через центр преобразования, вот они слева направо: C₁PC₂, C₂QC₃, C₃RC₄, C₄SC₁. То есть у них есть одна точка пересечения O, может поискать и другие?
Подсказка 5
Точки P, Q, R, S разбили на пары PR и QS. Может найденные окружности тоже стоит разбить на пары и посмотреть на радоси и их место в этом мире квадратов.
Пусть 
— центр поворотной гомотетии, переводящей один квадрат в другой, 
— середины отрезков 
(
). Тогда:
— квадрат;
т.е. четырёхугольники 
— вписанные.
.png)
Пусть первая и третья окружности вторично пересекаются в точке 
а вторая и четвёртая — в точке 
Тогда, из
равенства углов 
и того, что данные углы опираются на те же, либо на дополняющие дуги, имеем, что
углы 
и 
равны, следовательно, 
проходит через 
Аналогично 
проходит через 
Заметим,
что
но точки 
лежат на одной прямой, значит, 
равен углу между прямыми 
Так как 
а 
— вписанные, то 
аналогично 
а так как 
то
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
