Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан равнобедренный треугольник 
, 
, 
— середина меньшей дуги 
окружности 
, 
— середина отрезка 
.
Окружность с центром в 
, описанная около 
, вторично пересекает 
в точке 
. Докажите, что прямые 
и 
пересекаются на биссектрисе угла 
.
Подсказка 1
Две окружности пересекаются в точке P. Значит, существует поворотная гомотетия с центром в P, которая переводит одну в другую.
Подсказка 2
При поворотной гомотетии с центром P полезно проследить, куда переходят точки K, Q и O. Сохраняются ли какие-то угловые соотношения?
Подсказка 3
Пусть R — середина стороны AB. Тогда прямые PO и RQ антипараллельны относительно PR и KQ — вот и еще одна окружность.
Подсказка 4
Прямые PO и RQ пересекаются на окружности PRQ. Может биссектриса B тоже ее пересекает? А вдруг, в той же точке, что и PO?
Подсказка 5
Биссектриса угла B параллельна AP, а еще у нас есть серединный перпендикуляр к AC в точке Q. Может углы посчитать?
Подсказка 6
Углы OPQ и BSQ равны. Найдете вписанный четырехугольник?
Пусть 
— середины отрезка 
и меньшей дуги 
соответственно. Докажем, что прямые 
и 
пересекаются на
окружности 
Поворотная гомотетия с центром 
переводящая окружность 
в окружность 
переводит 
в 
в 
а 
в
центр окружности 
лежащий на прямой 
Следовательно, угол 
равен углу между прямыми 
и 
который
равен углу 
т.е. точка пересечения 
и 
лежит на окружности 
Покажем теперь, что 
и биссектриса 
угла 
также пересекаются на окружности 
Поскольку 
и
то
где 
— точка пересечения 
и 
т.е. четырёхугольник, образованный прямыми 
и 
—
вписанный.
Таким образом, прямые 
и 
пересекают окружность 
в одной и той же точке.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
