Поворотная гомотетия

(a) Пусть — точка пересечения окружностей и Тогда, в силу вписанностей четырехугольников и имеем

следовательно, треугольники и подобны с коэффициентом а углы и равны.

Таким образом, композиция поворота с центром в точке на угол и гомотетии с коэффициентом переведет точки и в точки и соответственно.

Обратно, если — центр поворотной гомотетии, то треугольники и подобны, поскольку

как коэффициенты гомотетии, и поскольку углы равны как углы поворота.

Тогда, в силу подобия, а значит, вписанный. С другой стороны, следовательно, четырехугольник также вписанный.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Пусть — центр поворотной гомотетии переводящей отрезок в Как было показано в первом пункте, это влечет подобие треугольников и что равносильно подобию треугольников и из чего заключаем, что существует поворотная гомотетия с центром в переводящая отрезок в

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(c) Пусть прямые в пересечении образуют выпуклый четырехугольник прямые и пересекаются в точке тогда, в силу пункта (a),точка — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок в и , лежит на окружностях и

С другой стороны, в силу пункта (b), является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок в то есть, если прямые и пересекаются в точке лежит на окружностях и

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(d) Обозначим точку пересечения окружностей Тогда, в силу теоремы об угле между касательной и хордой

Таким образом, треугольники и подобны, откуда, как уже было выяснено, следует требуемое.

Замечание. Точку называют точкой Болтая треугольника соответствующей точке