Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри треугольника 
взята такая точка 
что 
Вне треугольника 
взята такая точка 
что
и точки 
и 
находятся в разных полуплоскостях относительно 
Докажите, что 
где 
—
середина отрезка 
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно доказать, что угол равен 90 градусов. Наверное, мы понимаем, что углы считать тут совсем никак не выйдет. У нас есть какая-то непонятная точка D и не менее понятная точка E, и всё это завязано ещё с F. Жуть... Поэтому подумаем, как это можно доказать с помощью векторов. О каком тогда преобразовании плоскости можно вспомнить?
Подсказка 2
Верно, можно попробовать вспомнить про поворот и к тому же ещё увеличивать длину вектора, потому что отрезки у нас, к сожалению, различные, а так мы решим эту проблему. То есть будем доказывать, что повернув DF против часовой на 90 градусов и увеличив его, мы получим AF. Давайте обратим внимание на то, что нам дали равнобедренные треугольники с хорошими углами. Что можно тогда отметить в них, учитывая данную середину F в треугольнике BEC?
Подсказка 3
Ага, можно отметить середины сторон BC и EC. Тогда у нас будут две средние линии в треугольнике BEC. Вернёмся к нашим искомым векторам. Они у нас снова немного плохие, потому что ни с чем не связаны на картинке. Как тогда можно попробовать их выразить?
Подсказка 4
Да, их можно выразить через сумму векторов по правилу треугольника - это сумма средней линии и серединного перпендикуляра. Осталось только вспомнить, что если повернуть сумму векторов на угол, а потом увеличить их - это будет тоже самое, если сначала один из векторов повернуть на угол и увеличить, а потом аналогично со вторым. Теперь можно в явном виде записать то, что нам надо доказать, и понять, во сколько раз мы увеличиваем отрезки, используя углы равнобедренных треугольников.
Пусть 
— середины 
соответственно. Отсюда 
и 
— средние линии 
Тогда выполнены равенства 
и
Пусть 
— преобразование на векторах, которое поворачивает вектор на 
против часовой стрелки, а затем увеличивает в
раз. Тогда выполнено
Так как для поворотной гомотетии верно 
то
Откуда и следует нужная перпендикулярность.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
