Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трапеция 
вписана в окружность 
Окружности, вписанные в треугольники 
и 
касаются
оснований трапеции 
и 
в точках 
и 
соответственно. Точки 
и 
— середины дуг 
и 
окружности
, не содержащих точек 
и 
соответственно. Докажите, что прямые 
и 
пересекаются на окружности
Источники:
Подсказка 1
Заметим, что в указанных в условии треугольниках есть центры вписанных окружностей, а еще у них есть описанные окружности…на что это может намекать? Помним, что Х и Y - середины дуг…что мы тогда хотим сказать об угле с вершиной, которая является точкой пересечения XP и YQ?
Подсказка 2
В указанных в условии треугольниках мы можем использовать лемму от трезубце( и найти какие-то равнобедренные треугольники), а по подсказке 1 хотим доказать, что XP и YQ перпендикулярны (угол, образованный ими, должен опираться на диаметр ХY. У нас много вписанных углов в большой окружности…быть может, попробуем их использовать?
Подсказка 3
С помощью леммы о трезубце находим два равнобедренных подобных треугольника (Углы BXA и BYA равны), у которых стороны перпендикулярны…что поможет завершить доказательство перпендикулярности прямых?
Подсказка 4
С помощью поворотной гомотетии переведем один такой треугольник в другой! Что произойдут с нужными нам прямыми YQ и XI
Первое решение.
Заметим, что 
и 
— диаметрально противоположные точки, следовательно, 
Пусть 
и 
— центры вписанных
окружностей треугольников 
и 
соответственно. Тогда по лемме о трезубце 
и 
Кроме того,
Следовательно, равнобедренные треугольники 
и 
подобны, а их стороны, как показано
выше, перпендикулярны.
Следовательно, при поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, прямая 
переходит в прямую 
а прямая
— в прямую 
Таким образом, 
и 
— соответствующие точки этих треугольников, а значит, 
что эквивалентно
утверждению задачи.
Второе решение.
Пусть диаметр 
пересекает основания трапеции в их серединах 
и 
. Для доказательства утверждения задачи достаточно доказать,
что
то есть подобие прямоугольных треугольников 
и 
.
Это в свою очередь сводится к проверке равенства 
, то есть
Пусть 
- радиус описанной окружности. Тогда 
. Аналогично
, и 
.
Далее
Аналогично
и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
