Поворотная гомотетия

Обозначим через описанную окружность треугольника а через — окружность, проходящую через точку и касающуюся прямой в точке Хорды и этих окружностей отсекают от них дуги одинаковой угловой величины. В самом деле, половины этих дуг в обоих случаях равны : для окружности это вписанный угол, а для — угол между касательной и хордой.

Заметим также, что угол между прямыми и равен углу между прямыми и эти вписанные углы опираются на одну дугу в окружности с диаметром

Точку пересечения прямой с окружностью обозначим через и выделим на картинке два фрагмента: в окружности проведена секущая и на ней выбрана точка в окружности проведена секущая и на ней выбрана точка В каждом из этих двух фрагментов из точек на секущих проведены прямые под одинаковыми углами к секущим: и Первая из них касается и нам нужно доказать, что вторая касается Для доказательства нужно установить, что две описанные конфигурации подобны. Мы проверим это двумя способами. Углы треугольника, как обычно, будем обозначать греческими буквами, соответствующими названиям вершин.

Способ 1.(подсчёт отношения отрезков)

Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому остаётся проверить, что Отношение хорд и (стягивающих равные дуги) равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности равен диаметр окружности равен Таким образом, С другой стороны, отношение высот равно отношению сторон которое по теореме синусов тоже равно

Способ 2.(Поворотная гомотетия)

Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке переводящую точку в и в Она существует, ибо треугольники и подобны(и подобны треугольнику ). Окружность перейдёт в ибо друг в друга переходят хорды и отсекающие равные дуги. При этом секущая окружности переходит в секущую окружности и, следовательно, точка переходит в точку Значит, первый фрагмент переходит во второй.