Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр описанной окружности 
остроугольного треугольника 
На сторонах 
выбраны точки 
соответственно. Прямая, проходящая через 
перпендикулярно 
пересекает описанную окружность треугольника
и окружность 
в точках 
соответственно. Пусть 
— точка пересечения отрезков 
и 
— точка
пересечения лучей 
и 
а 
— ортоцентр треугольника 
. Докажите, что точки 
лежат на одной
окружности.
Подсказка 1
В задаче много окружностей, поэтому нужна точка Микеля. Постройте точку Микеля прямых BD, DE, EC, CB. Какие-нибудь пересечения прямых с какими-нибудь окружностями, найдите вписанности и перпендикулярности.
Подсказка 2
Точка Микеля - центр поворотной гомотетии, переводящей D в B, E в C. Рассмотрите эту гомотетию, заметьте подобие, отметьте еще уголочки.
Подсказка 3
Докажите, что SONV вписанный, где V - пересечение AS и (ABC). После этого, воспользуюсь тем, что W - ортоцентр, поймите вписанность пятиугольника SNOWV.
Обозначим через 
и 
Точка 
является точкой Микеля прямых 
поэтому точки 
лежат на одной окружности. Тогда
следовательно четырёхугольник 
вписанный, а так как 
то имеем
Следовательно, прямые 
и 
пересекаются на описанной окружности треугольника 
в точке, диаметрально
противоположной 
Назовем эту точку 
Также, 
поэтому 
является вписанным.
Итак,
поэтому 
Поскольку 
— точка Микеля прямых 
то существует поворотная гомотетия с центром в точке
переводящая точку 
в точку 
точку 
в точку 
описанную окружность 
в описанную окружность
точку 
в точку 
а тогда и точку 
в точку 
поскольку точки 
лежат на одной окружности.
Значит, треугольник 
подобен треугольнику 
Имеем, в силу подобия этих треугольников и равенства дуг 
и
поэтому точки 
лежат на одной прямой.
.png)
Таким образом,
откуда четырёхугольник 
вписанный.
Наконец, поскольку 
является ортоцентром 
что означает, что точка 
лежит на описанной
окружности четырёхугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
