Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
равнобедренного треугольника 
= 
выбраны такие точки 
соответственно, что
— параллелограмм. Докажите, что точка 
симметричная точке 
относительно 
лежит на описанной окружности
треугольника 
Подсказка 1
Для начала обозначим углы при основании равнобедренного треугольника, а именно углы ABC и ACB за α. Какие еще углы на картинке равны α?
Подсказка 2
Верно! Углы PXB и CXQ равны тоже α. Поэтому есть такие равенства отрезков PY = PX =PB и QY = QX =QC. Теперь попробуйте найти еще одно равенство углов.
Подсказка 3
Еще равны углы BAC и PXQ. Угол PXQ равен еще одному углу. Какому? И что из нового равенства можно вывести?
Подсказка 4
Ага, угол PXQ равен еще углу PYQ, а значит, у нас точки A, P, Q, Y, лежат на одной окружности. Теперь надо понять, что мы хотим доказать про точку Y такое, что из этого будет следовать Y ∈(ABC).
Подсказка 5
Если мы докажем, что Y — точка Микеля для BPQC. Для этого достаточно доказать, что треугольники YPB и YQC подобны. Какое условие для этого достаточно, учитывая что эти треугольники равнобедренные?
Обозначим 
Тогда 
Следовательно, 
и 
оба равны 
Поэтому, точки
лежат на одной окружности, то есть углы 
и 
равны. Заметим, что мы хотим доказать, что 
то
есть, что 
— точка Микеля для 
Для этого достаточно доказать, что существует поворотная гомотетия с центром в 
которая
переводит треугольник 
в треугольник 
Заметим, что 
и 
и как мы уже показали выше
поэтому треугольники 
и 
подобные равнобедренные треугольники, а это нам и нужно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
