Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник 
в котором 
Окружность проходит через точки 
и 
и пересекает отрезки 
и
повторно в точках 
и 
соответственно. Описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются повторно в точке
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Точки 
и 
симметричны 
относительно прямых 
и 
Докажите, что
точки 
и 
лежат на одной окружности.
Подсказка 1
Что можно сказать про центр поворотной гомотетии, которая переводит точку A в B, а точку A₁ в точку B₁?
Подсказка 2
Верно! Он совпадает с точкой P. Обозначим за f эту поворотную гомотетию. Что можно сказать про угол поворота этой гомотетии?
Подсказка 3
Точно! Он равен углу C. Что можно сказать про треугольники AQA₁ и BB₁S, учитывая что четырёхугольник AA₁B₁B вписанный?
Подсказка 4
Правильно! Они подобны и одинаковы ориентированы в силу того, что треугольники AQA₁ и ASA₁ равны, а треугольники ASA₁ и BB₁S подобны. Что можно сказать про образ точки Q при f?
Подсказка 5
Ага, точка Q перейдет в точку S! Тогда мы знаем, что угол QPS равен углу С. А значит, аналогично можно понять, что угол RPS равен углу C. Осталось проверить, что углы QPR и QCR равны.
Заметим, что 
— точка Микеля для 
а значит, существует поворотная гомотетия, которая переводит отрезок 
в
У этой поворотной гомотетии угол поворота равен 
Обозначим эту поворотную гомотетию за 
Легко видеть,
что треугольники 
и 
подобны, а треугольник 
равен треугольнику 
поэтому треугольники
и 
подобны, а еще одинаково ориентированы. Следовательно, при 
точка 
перейдет в точку 
а значит,
Аналогично 
Поэтому 
Но 
также равен удвоенному углу 
в силу
того, что он состоит из 
и двух частей, которые в сумме дают 
Поэтому точки 
лежат на одной
окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
