Инверсия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все грани выпуклого шестигранника — четырёхугольники, а в каждой вершине сходится три ребра. Шестигранник описан около сферы с
центром 
Известно, что проекции точки 
на рёбра некоторой грани шестигранника лежат на одной окружности. Докажите, что
проекции точки 
на ребра противоположной грани также лежат на одной окружности.
Пусть 
и 
— две противоположные грани (причем 
— ребра), а 
и 
— точки касания
сферы с ними. Пусть 
— проекции 
на ребра 
соответственно, они совпадают с проекциями 
на эти ребра. Пусть 
— высоты прямоугольных треугольников 
соответственно. Тогда 
то есть инверсия с
центром 
и радиусом 
переводит 
в 
Поэтому 
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда 
лежат на
одной окружности.
Заметим, что 
— проекции 
на плоскости 
соответственно. Поэтому точки касания
сферы с гранями 
симметричны 
относительно 
соответственно; они
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда 
лежат на одной окружности.
Получаем, что проекции точки 
на ребра грани 
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда точки касания сферы
с гранями 
и 
лежат на одной окружности. Аналогично для проекций точки 
на ребра грани
откуда следует утверждение задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
