Инверсия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности 
радиуса 
и 
радиуса 
касаются в точке 
— центре окружности 
радиуса 
Точка 
— одна из точек
пересечения окружностей 
и 
Окружность 
касается окружности 
в точке 
и окружности 
в точке 
. Точка 
—
такая точка на прямой 
, что треугольники 
и 
подобны. Найдите 
Все указанные в условии касания происходят
внешним образом.
Источники:
Подсказка 1
Если вы здесь, то вы нарисовали картинку, поздравляю вас! А не кажется ли вам, что здесь слишком много окружностей и хочется от них избавиться... Может пора вспомнить про инверсию?
Подсказка 2
У нас есть сразу две окружности, проходящие через центр окружности O₃, поэтому разумно будет делать инверсию относительно нее. Тогда окружности O₁ и O₂ перейдут в параллельные прямые L₁ и L₂. Точка A перейдет в себя (т.е. A'=A). А куда перейдут точки B и C?
Подсказка 3
Верно, из-за подобия они перейдут друг в друга! Значит AC=A'B'=AB'. Окружность O₄' касается прямых L₁ и L₂ в точках A и B', поэтому AB'- это просто расстояние между прямыми L₁ и L₂. Как будем его искать?
Подсказка 4
Давайте опустим перпендикуляр OH на прямую L₁. Тогда точка H является образом точки, диаметрально противоположной точке O на окружности O₁, при нашей инверсии. Значит OH*2b=a² ⇒ OH=a²/2b. Найдите расстояние от точки O до прямой L₂ и завершите решение!
Применим инверсию относительно окружности 
Окружность 
перейдёт сама в себя, окружности 
и 
— в
параллельные прямые 
и 
первая из которых проходит через точку 
переходящую при инверсии переходит сама в
себя.
Точки 
и 
переходят при этой инверсии друг в друга, поскольку
Это равенство следует из подобия треугольников 
и 
никаким другим образом эти треугольники подобны быть не могут, так
как у них общий угол 
а точки 
и 
мы предполагаем различными).
Окружность 
переходит в окружность, касающуюся прямых 
и 
в точках 
и 
соответственно. Так как прямые
параллельны, это значит, что длина отрезка 
равна расстоянию между этими прямыми.
Опустим из точки 
перпендикуляр на прямую 
Это перпендикуляр пересечёт окружность 
в точке 
инверсной основанию
перпендикуляра 
и диаметрально противоположной 
. Это значит, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
