Инверсия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
Прямая 
пересекает описанную окружность треугольника
в точках 
и 
Окружность, описанная около треугольника 
пересекает высоту 
в точке 
Докажите, что
Подсказка 1
Вообще если посмотреть на задачу, то возникает идея, что если бы существовала такая инверсия с центром в C, при которой точки X, Y, Z останутся неподвижными, то тогда мы сразу получим требуемое. Осталось такую инверсию придумать.
Подсказка 2
Если же при такой инверсии X и Y должны остаться неподвижными, то прямая XY должна перейти в окружность (ABC). Подумайте, куда должны перейти точки A, B и каким должен быть радиус инверсии.
Точки 
лежат на одной окружности, значит 
Сделаем инверсию с центром в точке 
и радиусом
Ясно, что она меняет местами точки 
и 
и 
Прямая 
переходит в окружность, содержащую образы точек
и 
и точку 
– то есть, в описанную окружность треугольника 
Образ точки 
должен лежать на описанной окружности
треугольника 
и на луче 
то есть совпадает с самой точкой 
Аналогичные рассуждения показывают, что точка 
тоже
переходит в себя. Такое происходит только если точки 
и 
лежат на окружности, относительно которой выполнена инверсия. В
частности, 
Найдем образ окружности, описанной около 
Ясно, что это прямая, проходящая через образы точек 
и 
то есть через
точки 
и 
Получаем, что образ точки 
должен лежать на луче 
и на прямой 
то есть образ точки 
это сама
точка 
Получается, что 
также лежит на окружности, относительно которой выполнялась инверсия. Таким образом,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
