Инверсия

Отметим, что четырехугольник вписанный. Поскольку из подобий треугольников и из подобий треугольников и то откуда и следует, что лежат на одной окружности. Теперь будем рассуждать так же как в предыдущей задаче. Если сделать инверсию с центром в точке меняющую местами точки и и то прямая перейдет в описанную окружность треугольника а точки и перейдут сами в себя. Четырехугольник вписанный, так как Окружность, описанная около него, под действием инверсии перейдет в прямую, проходящую через образы точек и то есть в прямую Точка перейдет в точку пересечения прямой и луча то есть в себя. Тем самым, точка тоже лежит на окружности, относительно которой выполнялась инверсия, и

Рассмотрим треугольник Его описанная окружность совпадает с описанной окружностью Точка  – середина дуги значит прямая  – биссектриса угла Согласно лемме о трезубце, центр вписанной окружности это точка на прямой причем такая, что расстояние от нее до точки равно и Точка удовлетворяет этому свойству, значит точка действительно является центром вписанной окружности