Инверсия

Обозначим окружности, полуокружностями которых являются и теми же буквами. Пусть и  – радиусы окружностей и соответственно. Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром радиуса Если прямая вторично пересекает окружность в точке то окружность проходящая через центр инверсии, переходит в прямую т.к. точки и лежащие на окружности инверсии, остаются на месте. Точка переходит в т.к. поэтому окружность также проходящая через центр инверсии, переходит в прямую параллельную и проходящую через точку Окружность не проходящая через центр инверсии и касающаяся окружностей и переходит в окружность касающуюся параллельных прямых и поэтому её радиус равен Окружность гомотетична окружности причём центр гомотетии совпадает с центром инверсии При этой гомотетии касательная к окружности переходит в параллельную ей касательную к окружности значит, точка переходит в точку а коэффициент гомотетии равен Следовательно, если  – радиус окружности то откуда находим, что Аналогично, радиус окружности также равен (формула симметрична относительно и ).