Инверсия

Докажем, что нижняя общая касательная параллельна Сделаем инверсию в точке с произвольным радиусом. На рисунке образ любого объекта обозначается через Нижняя касательная перейдёт в меньшую окружность (на рисунке обозначим её через ), проходящую через и касающуюся и поскольку на изначальной картинке она находится дальше от центра инверсии, чем верхняя общая касательная.

Пусть пересекает и в и соответственно. Если мы покажем, что то окружности и будут гомотетичны с центром значит они будут касаться в точке Но тогда при обратной инверсии мы получим, что и нижняя общая касательная к и параллельны.

Пусть пересекает в точках и Точки касания прямой с и обозначим через и соответственно. По внешней лемме Саваямы для прямые и проходят через центр окружности, вневписанной в напротив точки Прямые и параллельны, поскольку их прообразы — касающиеся в точке окружности (потому что ). Пусть Также поскольку как отрезки касательных. В силу вертикальности то есть — биссектриса Аналогично доказывается, что — биссектриса Следовательно, также центр вневписанной окружности То есть — биссектриса углов и Отсюда получаем, что а значит Таким образом, потому что равные хорды высекаются только параллельными прямыми. Получили требуемое.