Инверсия

Не умаляя общности положим, что имеет единичный радиус. Пусть точка — центр Сделаем инверсию в точке с радиусом Все касательные при инверсии перешли в окружности единичного диаметра, касающиеся внутренним образом. После инверсии задача звучит следующим образом:

Зафиксируем окружность единичного радиуса, окружность единичного диаметра, касающуюся внутренним образом, а также окружность внутри Окружности и единичного диаметра также касаются внутренним образом, пересекаются в точке на окружности пересекают в точках и соответственно. Докажите, что когда пробегает окружность касается двух фиксированных окружностей.

Поскольку и являются отражениями описанной окружности треугольника относительно сторон и соответственно, они проходят через ортоцентр этого треугольника. Эти окружности пересекаются в точке Значит, она и является ортоцентром треугольника Следовательно, окружность также является отражением окружности относительно

Пусть точки и — центры и соответственно, а точка — центр Пусть пересекает вторично в точке Точки и симметричны относительно прямой , откуда равнобокая трапеция. Значит, Также имеем

откуда Это означает, что то есть равенство верно независимо от выбора точки

Наконец, определим фиксированную точку такую, что Четырёхугольник — параллелограмм, значит равенство верно независимо от выбора Следовательно, касается фиксированных окружностей с центром в точке и радиусами и

Осталось проверить, что при обратой инверсии найденые окружности не перейдут в прямые. Это может случиться, если какая-то из них проходит через Покажем, что это невозможно. Действительно, поскольку лежит внутри имеем откуда

Это доказывает, что находится всне рассматриваемых окружностей.