Инверсия

Покажем, что является биссектрисой угла (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим

______________________________________________________________________________________________________

Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую в точке . Пусть Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных из точки к меньшей окружности, следоваетельно, .

По теореме об угле между касательной и хордой верно, что . Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике , .

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке , переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая пересекает большую окружность в точке , тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке . Таким образом, данная касательная паралельна , то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 3. Пусть — середина меньшей дуги окружности большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке и радиусом . Точки и под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая AB переходит в окружность, проходящую через точки , , и центр окружности инверсии — , то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой и гомотетична своему пробразу с центром в , то есть остается на месте, то есть точка перейдет в точку , а значит, прямая проходит через центр инверсии — .