Инверсия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В угол 
вписаны окружности 
и 
(радиус 
больше). 
касается сторон угла в точках 
и 
а 
— в точках 
и
соответственно. Точка 
— середина отрезка 
Прямые 
и 
вторично пересекают 
и 
соответственно в точках
и 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
. Докажите, что прямая 
проходит через середину отрезка
Источники:
Первое решение.
Докажем, что четырехугольник 
вписанный. Для этого нам достаточно показать равенство 
. Для этого
заметим, что эти произведения равны 
и 
соответственно (степень точки 
относительно окружностей 
и 
).
Тогда получаем, что 
по свойству касательной 
и 
из подобия
соответствующих треугольников. Поскольку также равны углы 
и 
, то получаем, что сумма углов 
и 
равна
Тогда получаем вписанность 
. Из этого получаем, что 
, что соответствует тому, что точка
лежит на радикальной оси окружностей 
и 
. Очевидно, что на ней же лежат точки 
и середина стороны
.
Второе решение.
Инверсия с центром 
и радиусом 
переводит вписанную трапецию 
во вписанный 4-угольник 
. Тогда
радикальные оси 
и 
пересекаются на радикальной оси окружностей 
и 
, которая проходит через середины 
и
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
