Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Покажем несколько примеров приведенных многочленов с целыми коэффициентами, среди которых есть отрицательные, у которых -я степень не имеет отрицательных коэффициентов.

Пример 1. Рассмотрим многочлен

где — достаточно большое натуральное число (на самом деле, достаточно взять Проверим, что и имеют только положительные коэффициенты:

Теперь положим Этот многочлен приведённый, имеет только целые коэффициенты и один отрицательный. Покажем, что и тоже имеют только неотрицательные коэффициенты:

Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при он равен но коэффициент при у равен поэтому вся сумма не имеет отрицательных коэффициентов.

Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при и он равен но коэффициент при уже в равен поэтому вся сумма гарантированно не имеет отрицательных коэффициентов.

Поэтому и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит, и для всех больших не имеет отрицательных коэффициентов, так как любое число, большее представимо в виде суммы двоек и троек.

Идея этого примера такова: рассмотрим многочлен Его любая степень имеет положительные коэффициенты (нет нулевых). “Пошевелив” (на данный момент нулевой) коэффициент при в отрицательную сторону мы получим многочлен, коэффициенты степеней которого «мало» отличаются от коэффициентов тех же степеней многочлена так как коэффициенты его степеней являются непрерывными функциями от параметра поэтому при малом степени многочлена будут иметь только положительные коэффициенты. На основе этого легко построить приведенный целочисленный многочлен, у которого все степени имеют только положительные коэффициенты. Аналогично подходит многочлен и его шевеления для всех при тогда

дает нам нужный пример многочлена имеющий произвольную степень

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 2. Рассмотрим

Тогда многочлены и тоже имеют только положительные коэффициенты, а значит, и для всех многочлен будет иметь только положительные коэффициенты. Аналогичные примеры можно построить для любой степени, не меньшей (почти все коэффициенты равны В этом примере минимальная степень многочлена равна

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 3. Пусть Рассмотрим

(все коэффициенты, кроме одного, равны Тогда и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит, и для всех многочлен не будет иметь отрицательных коэффициентов. В этом примере модули коэффициентов не превосходят

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 1. Данные примеры показывают, что для любого существует приведённый целочисленный многочлен степени с отрицательным коэффициентом, старшие степени которого не имеют отрицательных коэффициентов. Можно доказать, что если квадратичный или кубический многочлен имеет отрицательные коэффициенты, то его степени тоже будут иметь отрицательные коэффициенты.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 2. Для всякого можно построить целочисленный приведенный многочлен степени которого вплоть до имеют отрицательные коэффициенты, а начиная с не имеют отрицательных коэффициентов.