Тема . Многочлены

Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128015

Многочлен R(x)  дает остаток a2  при делении на x− a,  остаток b2  при делении на x− b  и остаток c2  при делении на x− c.  Найдите остаток от деления R(x)  на многочлен

 3          2
x − (a+ b+c)x +(ab+bc+ ca)x− abc.
Показать ответ и решение

По теореме Безу имеем: R(a)= a2,  R(b)= b2,  R(c)= c2.

Разделим R(x)  на многочлен (x − a)(x − b)(x− c)  с остатком:

R(x)= (x− a)(x− b)(x− c)⋅H (x)+ P(x),

где degP ≤ 2.

При x= a  получаем R(a)= a2 = P(a),  аналогично P(b)=b2  и P(c) =c2.

Рассмотрим многочлен P(x)− x2.  Его степень не больше 2, и он обращается в ноль при x = a,  x = b,  x =c.  Значит, P(x)− x2  имеет три различных корня, но степень не больше 2, следовательно P(x)− x2 ≡ 0.  Таким образом, P(x)= x2.

Ответ:

 x2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!