Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Подсказка 1

Заметим, что P(P(x) + x) - P(x) делится на P(x) при всех натуральных x. Какой вывод тогда можно сделать о P(x)?

Подсказка 2

Конечно, тогда P(x) может в бесконечном числе точек быть равен 1 или -1 (что, нам, конечно, не подходит, поскольку тогда этот многочлен тождественно равен 1 или -1) или тождественно равен (аналогичным образом) P(P(x) + x) или -P(P(x) + x). Попробуем рассмотреть равенство с P(P(x) + x). Что можно сказать о степени P(x)?

Подсказка 3

Верно! Степень P(x) не превосходит 1. Тогда P(x) = c, где c — простое число всегда подходит. Подходит ли линейная функция?

Подсказка 4

Верно, не подходит! Ведь тогда a(a+1)x + b(a+1) = ax + b при всех действительных x, что невозможно при ненулевом a. Попробуем теперь рассмотреть случай равенства с -P(P(x)+x). Можно ли аналогичными выводами узнать, какова степень многочлена P(x)?

Подсказка 5

Верно! Аналогичными рассуждениями легко прийти к тому, что P(x) = ax + b при ненулевом a. Какие a и b подойдут?

Подсказка 6

Конечно! Расписав равенство P(x) = -P(P(x)+x) в явном виде, получим, что a = -2. А чему может быть равно b?