Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные 
для которых существует многочлен 
с целыми коэффициентами такой, что 
для всех
натуральных делителей 
числа 
Подсказка 1
Попробуем доказать, что n не может быть составным. Для этого можно пойти от противного. Можно ли выбрать какие-нибудь хорошие делители n и рассмотреть значения многочлена в них?
Подсказка 2
Верно! Пусть n = qd, где d — наименьший простой делитель n. Тогда p(q) = d. Еще мы знаем, что p(n) = 1. Какой вывод можно сделать?
Подсказка 3
Конечно! p(q) - p(n) делится на n - q. Может ли это быть верным?
Подсказка 4
Точно, не может! А можно ли построить пример для простых n или n = 1?
Сначала приведем пример такого многочлена для простых 
Теперь предположим, что 
– составное число: 
где 
– наименьший простой делитель 
Так как 
содержит хотя бы
один простой делитель 
то 
Предположим, что описанный в задаче многочлен 
существует. Тогда 
По теореме
Безу, 
Другими словами,
Такое может случиться только если 
или 
но по определению 
и 
ни то, ни другое не выполнено –
противоречие.
все простые 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
