Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Предположим противное – пусть существует такое целое что
Рассмотрим выражение Согласно теореме Безу, оно делится на Значит и
делится на Так как уравнение не имеет решений в целых числах, и а значит

С другой стороны, по теореме же Безу, значит

Такое возможно только если откуда либо
либо В первом случае и, так как получаем что является решением уравнения что противоречит условию задачи. Теперь разберем второй случай. Ясно, что если является решением уравнения то и тоже. Повторим рассуждение с самого начала, заменив в нем на Получим, что Мы уже знаем, что один из способов раскрытия модуля приводит к противорчию, поэтому выберем второй: Запишем рядом это уравнение и уравнение выше

Мы получили, что  – попарно различные числа, попарные разности которых совпадают. Такого, конечно, быть не может, по крайней мере потому, что разность между наименьшим и наибольшим числом строго больше, чем разность любых других двух чисел. Противоречие.