Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Представим исходный многочлен в виде

причем — натуральное число такое, что свободный коэффициент многочлена не равен Такое число существует, поскольку в противном случае многочлен

имеет вид а значит не имеет натурального корня что противоречит условию.

Пусть

По правилу знаков Декарта количество смен знаков в последовательности не меньше, чем количество положительных корней данного многочлена, то есть не меньше

Пусть в ряду произошла смена с положительного знака на отрицательный, тогда существует такое, что Тогда и искомый коэффициент найден.

В противном случае произошла ровна одна смена с отрицательного на положительный знак, следовательно Осталось заметить, что тогда