Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многочлен 
с целыми коэффициентами и натуральное число 
таковы, что для любого целого 
найдётся целое 
для
которого 
Найдите все такие пары 
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрите следующую лемму (она требует предъявление доказательства): "Предположим, что A, B — вещественные числа, причем A≠±1 и многочлен P(x) степени k > 0 удовлетворяет равенству P(Ax + B) = AᵏP(x). Тогда P(x) = α(x - x₀)ᵏ, где x₀ = -B/(A-1)"
Подсказка 2
Для доказательства леммы положите Q(x) = P(x+x₀). Рассмотрите Q(Ax), проделайте цепочку преобразований.
Подсказка 3
Обратите внимание на коэффициенты при степенях x в полученном после цепочки преобразований равенстве.
Подсказка 4
Один из многочленов, подходящих под ответ, довольно тривиален.
Подсказка 5
А до второй части ответа наоборот, нужно дойти. Подумайте, будет ли какой-то многочлен, равный ненулевой константе, удовлетворять условию при каком либо a.
Подсказка 6
Нет, не будет. Придется рассматривать случай, когда степень многочлена P равна k>0, при этом положите коэффициент α при xᵏ больше 0 (для коэффициента меньше 0 рассуждения аналогичны).
Подсказка 7
Попытайтесь заметить несколько наблюдений, не пользуясь соображениями целочисленности из условия задачи. Попробуйте рассмотреть равенство aP(x) = P(z) как уравнение относительно z = z(x).
Подсказка 8
Рассмотрите поведение многочлена P(x) при очень большом x. Обратите внимание, имеет ли решения вышеприведенное уравнение при x приближающемся к бесконечности и как это зависит от z(x).
Подсказка 9
Будем рассматривать луч [M, +∞]. Тогда уравнение всегда будет иметь решение z(x) > M, зависящее от x. Рассмотрите, как себя ведет на этом луче z(x) в зависимости от x. Рассмотрите для уравнения случай z(x) > M.
Подсказка 10
Положите a = ρᵏ при некотором вещественном ρ > 1. Рассмотрите переменный вещественный параметр θ для уравнения P(ρx + θ) - P(z).
Подсказка 11
Положите θ такое, что коэффициент при xᵏ⁻¹ обнулится.
Подсказка 12
θ₀ = β(a - ρᵏ⁻¹)/kαρᵏ⁻¹
Подсказка 13
Докажите, что существует lim x->+∞ (z(x) - ρx) = θ₀.
Подсказка 14
Рассмотрите этот предел слева и справа (по определению), воспользовавшись монотонностью.
Подсказка 15
Рассмотрите предел z(x) + ρx для достаточно больших x (таких, что z(x) < 0). Обозначим его Θ.
Подсказка 16
Рассмотрите числа z(x), z(x+1), z(x+2) при большом натуральном x. Обратите внимание на их знаки. Сделайте из этого вывод о числе ρ.
Подсказка 17
Получаем, что во всех случаях, вне зависимости от знаков z(x), z(x+1), z(x+2), число 2ρ — целое. Тогда сделайте замечания о значениях выражений 2z(x) ± 2ρx.
Подсказка 18
Подумайте, имеет ли место одно из следующих равенств: z(x) = ρx + θ₀, z(x) = -ρx + Θ. Если да, то при каких условиях? Сделайте замечание о том, какому множеству чисел принадлежат Θ и θ₀.
Подсказка 19
Рассмотрите многочлены P(ρx + θ₀) - aP(x) и P(-ρx + Θ) - aP(x). Сделайте замечание о количестве их корней и вывод об их значениях. Примените лемму, доказанную в начале.
Подсказка 20
Заметьте, что с точностью до множителя, можно считать, что P(x) = (px + q)ᵏ. Предъявите требования к p и q.
Подсказка 21
Пользуясь равенством aP(x) = P(z), ответьте, чему равно pz + q.
Подсказка 22
pz+q = ±a¹ᐟᵏ(px+q), где знак минус возможен при четном k. Сделайте замечание о том, к какому множеству чисел принадлежит a¹ᐟᵏ.
Подсказка 23
a¹ᐟᵏ — рациональное число, и, соответственно, a — точная k-я степень. Положите a = rᵏ и получите выражение для z.
Подсказка 24
Исходя из выражения для z, предъявите итоговые требования для многочлена P(x), чисел k, p, c, q, a и r.
Нам понадобится следующая стандартная лемма.
Лемма. Предположим, что 
— вещественные числа, причем 
и многочлен 
степени 
удовлетворяет равенству
Тогда 
где 
Доказательство. Положим 
Тогда
Приравнивая в полученном уравнении 
коэффициенты при степенях 
видим, что все они, кроме коэффициента при
равны 
Ясно, что многочлен 
удовлетворяет условию при любом 
а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет
условию ни при каком 
Пусть теперь степень многочлена 
равна 
и
Сделаем несколько наблюдений, не пользуясь соображениями целочисленности из условия задачи. Будем считать, что 
(для
рассуждения аналогичны). Рассмотрим равенство
как уравнение относительно 
Многочлен 
монотонен и непрерывен на некотором луче вида 
Поэтому при
больших положительных 
это уравнение всегда имеет решение 
(непрерывно) зависящее от 
Очевидно, что
при 
При четном 
для больших 
существует также решение 
в этом случае 
при
Рассмотрим случай 
Пусть 
при некотором вещественном 
При фиксированном 
и 
найденном из
уравнения 
рассмотрим переменный вещественный параметр 
для которого
Положим 
(для этого значения 
коэффициент при 
равен 
).
Мы утверждаем, что существует 
Доказательство. Рассуждая по определению, выберем числа 
Тогда при 
и 
правая часть формулы 
при достаточно больших 
принимает большие по модулю значения разных знаков, в то время как при 
правая часть формулы 
относительно мала по сравнению с этими значениями. В силу монотонности многочлена получаем, что 
лежит между 
и
Для больших 
для которых 
аналогично получаем, что 
имеет некоторый конечный предел 
Рассмотрим теперь большое натуральное 
Среди чисел 
два имеют одинаковый знак. Если, например, 
и
отрицательны, то
есть сумма целого числа 
и функции от 
стремящейся к 
при возрастании 
Отсюда получаем, что число 
целое.
Аналогичное рассуждение верно и для других вариантов, и во всех случаях получаем, что 
— целое число. Тогда целочисленные
выражения 
имеющие предел, должны быть постоянными при больших 
Таким образом, хотя бы одно из равенств
, 
имеет место при бесконечно многих 
(отметим, что из этого следует целочисленность 
или
соответственно 
). Значит, либо многочлен 
либо многочлен 
имеет бесконечно много корней,
следовательно, он тождественно равен 
Применяя лемму, получаем, что 
где 
— рациональное
число.
Для решения задачи заметим, что с точностью до множителя (не влияющего на существование целого 
такого что 
),
можно считать, что 
где 
и 
— взаимно простые целые числа. Тогда равенство 
означает, что
знак минус возможен при четном 
Сразу ясно, что 
— рациональное число, т.е. 
— точная 
-я степень.
Пусть 
Получаем 
Итак, при 
годится любое целое 
в
противном случае при нечетных 
нужно, чтобы 
было кратно 
а при четных 
— чтобы 
было кратно
и 
любое;
где 
— натуральные числа, 
— целые, 
и 
и 
взаимно просты; для этого случая число
должно быть больше 
и иметь вид 
где 
(mod 
) при нечетных 
и 
(mod 
) при четных
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
