Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

(a) Нет.

Если степень многочлена хотя бы , то при огромных положительных числах он будет принимать значения, большие по модулю, поскольку на положительных числах растёт линейно. Также ясно, что степень многочлена больше . То есть если такой многочлен существует, то он имеет вид . Но это выражение далеко не при всех неотрицательно, то есть функционального равенства с быть не может.

(b) Нет.

Предположим, что существует такой многочлен , что . Следовательно, . Ясно, что . В таком случае , а . То есть функционального равенства быть не может.

(c) Нет.

Предположим, что есть такой многочлен , тогда . Степень многочлена слева равна , а многочлена справа — . Отсюда получаем, что . Пусть . Из подстановки в равенство следует, что . Подстановка приведёт к равенствам , откуда . Но тогда , противоречие.

(d) Нет.

Это выражение не определено в , а любой многочлен в этой точке определён, значит функционального равенства с многочленом быть не может.