Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Левая часть делится на значит и правая делится. То есть делится на Правая часть делится на тогда и левая тоже делится, отсюда получаем, что многочлен имеет корень Следовательно, многочлен имеет корень Эти рассуждения позволяют записать в виде Само равенство превратится в Далее если проделать аналогичные манипуляции с делимостью на и то мы получим, что делится на Равенство же примет вид:

Покажем по индукции, что при после -го шага будет равенство тем более база уже доказана. Скобочки и друг на друга не делятся (поскольку мы не после шага). Следовательно, Если подставить это в равенство, получим переход.

Итак, на шаге мы получили равенство При оно верно, но необходимо, чтобы оно выполнялось и для других то есть на скобочку можно сократить. Значит, при всех (возможно кроме ). Получается, что многочлен может принимать одно и то же значение в бесконечном количестве точек, поскольку у него период Следовательно, — константа. Заметим, что подойдёт любая комплексная константа

Таким образом,