Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многочлены 
и 
с рациональными коэффициентами таковы, что в бесконечном множестве натуральных точек 
они оба принимают
целые значения и при этом 
Докажите, что 
делится на 
как на многочлен.
Подсказка 1
Если многочлен P делится на Q в бесконечном количестве натуральных точек, есть смысл поделить P на Q с остатком.
Подсказка 2
Итак, вы поделили, получили равенство P(x) = H(x)Q(x) + R(x). Но дальше ничего не можете сделать, потому что мешают рациональные коэффициенты. На самом деле коэффициенты вообще не важны и их легко можно сделать целыми, умножив это равенство на некоторое число. Какое?
Подсказка 3
Обратите внимание на остаток R(x), что с ним происходит в точках, в которых P делится на Q?
Домножим каждый из многочленов 
и 
на НОК знаменателей их коэффициентов, от этого ничего не изменится. Теперь они
целочисленные. Поделим многочлен 
на 
с остатком: 
. Из процесса деления ясно, что все
коэффициенты 
и 
рациональные. Домножим равенство на НОК знаменателей коэффициентов 
и 
Получается,
что при бесконечном количестве натуральных точек 
делится на 
Но 
следовательно при огромных натуральных числах многочлен 
по будет по абсолютному значению больше, чем 
Значит,
делимость 
на 
в бесконечном количестве натуральных точек возможна лишь когда 
— тождественный ноль. Получили
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
