Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многочлен 
с целыми коэффициентами при некоторых целых 
принимает значения 
и 
Докажите, что существует не более
одного целого 
при котором значение этого многочлена равно 
Подсказка 1
Можно ли как-то оценить, насколько отличаются точки x₁, x₂ и x₃, в которых многочлен соответственно принимает значения 1, 2 и 3?
Подсказка 2
Верно! Поскольку наш многочлен целочисленный, то P(x₃) - P(x₂) = 1, поэтому 1 делится на x₃ - x₂. Аналогичное утверждение верно про x₂ и x₁. Выходит, что |x₃ - x₂| = |x₂ - x₁| = 1. Могут ли подмодульные выражения иметь разный знак?
Подсказка 3
Не могут, ведь тогда x₃ = x₁, что невозможно. Тогда получаем, что оба подмодульных выражения равны 1 или -1 (будем пока считать, что они равны 1). Предположим, что P(x₄) = 5. Как аналогичными рассуждениями связать точку x₄ с имеющимися точками?
Подсказка 4
Верно! Получим, что 2 делится на x₄ - x₃ и 3 делится на x₄ - x₂. Тогда 2 и 3 не меньше соответствующих выражений. А что получится, если x₄ - x₃ и x₄ - x₂ выразить через x₁?
Подсказка 5
Точно! Тогда получим, что 1 ≤ |x₄ - x₁ - 2| < |x₄ - x₁ - 1| ≤ 3. Как теперь применить делимость и выразить однозначно x₄ через x₁?
Пусть 
и 
Покажем, что точка 
выражается через 
и 
не более чем одним
способом.
Многочлен целочисленный, поэтому 
кратно 
и 
кратно 
То есть
Заметим, что если 
и 
противоположны, то 
но это невозможно. Следовательно,
Пусть знак положительный (другой случай рассматривается аналогично).
Получается, что 
кратно 
и 
кратно 
Это позволяет
построить следующую цепочку неравенств: 
То есть 
— это натуральное число, большее
меньшее 
и кратное 
Значит, 
Этому равенству удовлетворяют два варианта: 
и
Осталось заметить, что во втором случае двойка должна делиться на 
Следовательно, единственный
возможный вариант — 
Получили требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
