Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Подсказка 1

Воспользуемся методом, который часто используется при решении функциональных уравнений. Пусть дано некоторое уравнение относительно f(x). Если мы предполагаем, что единственным решением является данная (конкретная) функция g(x), то полезно сделать замену f(x)=g(x)+h(x), для некоторой функции h(x). Таким образом, вместо того, чтобы доказывать, что f(x)=g(x), что бывает достаточно сложно для произвольной данной функции g(x), мы хотим показать, что h(x)=0, это часто бывает проще. Как этим принципом можно воспользоваться в рамках нашей задачи?

Подсказка 2

Пусть P(x) — исходный многочлен. Мы хотим показать, что P(x)=Q²(x) для некоторого многочлена Q(x). Давайте положим P(x)=Q²(x)+H(x) для некоторых многочленов Q(x) и H(x). Ясно, что такая пара многочленов (Q, H) задается не единственным образом, и даже если P(x) действительно является квадратом некоторого многочлена, то существуют пары многочленов (Q, H), такие что P(x)=Q²(x)+H(x), где H(x)≠0. Какие дополнительные условия можно наложить на Q(x) так, в случае, если P(x) являлся квадратом, то равенство P(x)=Q²(x)+H(x) было бы возможно только при H(x)=0?

Подсказка 3

Мы хотим, чтобы Q²(x) как можно сильнее совпадал с P(x), это можно обеспечить, если у нас получится сохранить равенство коэффициентов. Равенство скольки первых коэффициентов Q²(x) и P(x) мы можем гарантированно обеспечить?

Подсказка 4

Пусть 2n — степень многочлена P(x). Несложно показать, что мы можем обеспечить равенство первых n коэффициентов Q²(x) и P(x). Что можно сказать о степени многочлена H(x) в этом случае?

Подсказка 5

Степень H(x) не превосходит n-1, причем все коэффициенты Q(x) являются рациональными в силу целочисленности коэффициентов P(x), следовательно, то же верно для многочлена H(x). Предположим, что степень H(x) выше 0.

Нам известно, что Q²(x)+H(x)=P(x)=m², при некотором целом m для каждого целого значения x. Как можно оценить m через значения многочлена при достаточно больших n?

Подсказка 6

Посчитаем НОК всех знаменателей Q и H и домножим на его квадрат. Равенство будет иметь тот же вид, только Q и H будут целочисленными. При достаточно больших целых x многочлен H(x) будет либо принимать огромные по модулю положительные, либо отрицательные значения (не умаляя общности, пусть положительные), поскольку его степень больше 0. В таком случае при бесконечном количестве огромных целых x многочлен H принимает положительные значения, то есть m²>Q²(x). Отсюда следует, что в силу целочисленности многочлена Q справедливо неравенство m²≥(Q(x)+ 1)². Что это говорит о значениях P(x) и Q(x) при достаточно больших x?

Подсказка 7

При достаточно больших x верно, что H(x)=m²-Q²(x)≥(Q (x)+ 1)²-Q²(x)=2Q(x)+1. Возможно ли это?

Подсказка 8

Нет, поскольку степень многочлена H(x) меньше 2Q(x)+1. Тем самым мы показали, что степень многочлена H(x) равна 0. Таким образом, он равен константе. Осталось показать, что тогда он равен 0.