Многочлены с целыми коэффициентами и теорема Безу

Пусть Возьмем простое большее и большее модуля старшего коэффициента многочлена. Докажем, что подходит. Очевидно, что является общим делителем всех чисел вида Докажем, что большего общего делителя у них нет. Пусть некоторое делит при всех целых Рассмотрим два случая.

У есть простой делитель Тогда для всех целых имеем: и Числа и взаимно просты, поэтому для любого целого найдутся целые и такие, что Тогда т. е. НОД всех чисел (при целых ) не меньше Противоречие.

Рассмотрим многочлен над полем (т. е. рассмотрим его коэффициенты по модулю ). Он имеет корней в поле а его степень не превосходит поэтому все его коэффициенты нули. Значит все коэффициенты (как многочлена с целыми коэффициентами) кратны Применяя аналогичное рассуждение к многочлену получаем что все коэффициенты (как многочлена с целыми коэффициентами) кратны Легко проверить, что это не так для коэффициента при Противоречие.